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權重初始化最佳實踐
書接上回，全0、常數、過大、過小的權重初始化都是不好的，那我們需要什麼樣的初始化？
- 因為對權重\(w\)的大小和正負缺乏先驗，所以應初始化在0附近，但不能為全0或常數，所以要有一定的隨機性，即數學期望\(E(w)=0\)；
-
因為梯度消失和梯度爆炸，權重不易過大或過小，所以要對權重的方差\(Var(w)\)有所控制；
- 深度神經網絡的多層結構中，每個激活層的輸出對後面的層而言都是輸入，所以我們希望不同激活層輸出的方差相同，即\(Var(a^{[l]})=Var(a^{[l-1]})\)，這也就意味不同激活層輸入的方差相同，即\(Var(z^{[l]})=Var(z^{[l-1]})\)；
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如果忽略激活函數，前向傳播和反向傳播可以看成是權重矩陣（轉置）的連續相乘。數值太大，前向時可能陷入飽和區，反向時可能梯度爆炸，數值太小，反向時可能梯度消失。所以初始化時，權重的數值範圍（方差）應考慮到前向和後向兩個過程；
權重的隨機初始化過程可以看成是從某個概率分佈隨機採樣的過程，常用的分佈有高斯分佈、均勻分佈等，對權重期望和方差的控制可轉化為概率分佈的參數控制，權重初始化問題也就變成了概率分佈的參數設置問題。
在上回中，我們知道反向傳播過程同時受到權重矩陣和激活函數的影響，那麼，在激活函數不同以及每層超參數配置不同（輸入輸出數量）的情況下，權重初始化該做怎樣的適配？這裏，將各家的研究成果匯總如下，
其中，扇入\(fan\_in\)和扇出\(fan\_out\)分別為當前全連接層的輸入和輸出數量，更準確地說，1個輸出神經元與\(fan\_in\)個輸入神經元有連接(the number of connections feeding into the node)，1個輸入神經元與\(fan\_out\)個輸出神經元有連接(the number of connections flowing out of the node)，如下圖所示（來自），
對於卷積層而言，其權重為\(n\)個\(c\times h \times w\)大小的卷積核，則一個輸出神經元與\(c\times h \times w\)個輸入神經元有連接，即\(fan\_in = c\times h \times w\)，一個輸入神經元與\(n\times h \times w\)個輸出神經元有連接，即\(fan\_out=n\times h \times w\)。
期望與方差的相關性質
接下來，首先回顧一下期望與方差計算的相關性質。
對於隨機變量\(X\)，其方差可通過下式計算，
\[ Var(X) = E(X^2) – (E(X))^2 \]
若兩個隨機變量\(X\)和\(Y\)，它們相互獨立，則其協方差為0，
\[ Cov(X, Y) = 0 \]
進一步可得\(E(XY)=E(X)E(Y)\)，推導如下，
\[ \begin{align} Cov(X, Y) &= E((X-E(X))(Y-E(Y))) \\ &= E(XY)-E(X)E(Y) =0 \end{align} \]
兩個獨立隨機變量和的方差，
\[ \begin{aligned} \operatorname{Var}(X+Y) &=E\left((X+Y)^{2}\right)-(E(X+Y))^{2} \\ &=E\left(X^{2}+Y^{2}+2 X Y\right)-(E(X)+E(Y))^{2} \\ &=\left(E\left(X^{2}\right)+E\left(Y^{2}\right)+2 E(X Y)\right)-\left((E(X))^{2}+(E(Y))^{2}+2 E(X) E(Y)\right) \\ &=\left(E\left(X^{2}\right)+E\left(Y^{2}\right)+2 E(X) E(Y)\right)-\left((E(X))^{2}+(E(Y))^{2}+2 E(X) E(Y)\right) \\ &=E\left(X^{2}\right)-(E(X))^{2}+E\left(Y^{2}\right)-(E(Y))^{2} \\ &=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y) \end{aligned} \]
兩個獨立隨機變量積的方差，
\[ \begin{aligned} \operatorname{Var}(X Y) &=E\left((X Y)^{2}\right)-(E(X Y))^{2} \\ &=E\left(X^{2}\right) E\left(Y^{2}\right)-(E(X) E(Y))^{2} \\ &=\left(\operatorname{Var}(X)+(E(X))^{2}\right)\left(\operatorname{Var}(Y)+(E(Y))^{2}\right)-(E(X))^{2}(E(Y))^{2} \\ &=\operatorname{Var}(X) \operatorname{Var}(Y)+(E(X))^{2} \operatorname{Var}(Y)+\operatorname{Var}(X)(E(Y))^{2} \end{aligned} \]
全連接層方差分析
對線性組合層+非線性激活層，計算如下所示，其中\(z_i^{[l-1]}\)為\(l-1\)層第\(i\)個激活函數的輸入，\(a_i^{[l-1]}\)為其輸出，\(w_{ij}^{[l]}\)為第\(l\)層第\(i\)個輸出神經元與第\(j\)個輸入神經元連接的權重，\(b^{[l]}\)為偏置，計算方式如下
\[ \begin{align}a_i^{[l-1]} &= f(z_i^{[l-1]}) \\z_i^{[l]} &= \sum_{j=1}^{fan\_in} w_{ij}^{[l]} \ a_j^{[l-1]}+b^{[l]} \\a_i^{[l]} &= f(z_i^{[l]})\end{align} \]
在初始化階段，將每個權重以及每個輸入視為隨機變量，可做如下假設和推斷，
- 網絡輸入的每個元素\(x_1,x_2,\dots\)為獨立同分佈；
- 每層的權重隨機初始化，同層的權重\(w_{i1}, w_{i2}, \dots\)獨立同分佈，且期望\(E(w)=0\)；
- 每層的權重\(w\)和輸入\(a\)隨機初始化且相互獨立，所以兩者之積構成的隨機變量\(w_{i1}a_1, w_{i2}a_2, \dots\)亦相互獨立，且同分佈；
- 根據上面的計算公式，同層的\(z_1, z_2, \dots\)為獨立同分佈，同層的\(a_1, a_2, \dots\)也為獨立同分佈；
需要注意的是，上面獨立同分佈的假設僅在初始化階段成立，當網絡開始訓練，根據反向傳播公式，權重更新后不再相互獨立。
在初始化階段，輸入\(a\)與輸出\(z\)方差間的關係如下，令\(b=0\)，
\[ \begin{align} Var(z) &=Var(\sum_{j=1}^{fan\_in} w_{ij} \ a_j) \\ &= fan\_in \times (Var(wa)) \\ &= fan\_in \times (Var(w) \ Var(a) + E(w)^2 Var(a) + Var(w) E(a)^2) \\ &= fan\_in \times (Var(w) \ Var(a) + Var(w) E(a)^2) \end{align} \]
tanh下的初始化方法
若激活函數為線性恆等映射，即\(f(x)=x\)，則\(a = z\)，自然\(E(a)=E(z)\)，\(Var(a) = Var(z)\)。
因為網絡輸入的期望\(E(x)=0\)，每層權重的期望\(E(w) = 0\)，在前面相互獨立的假設下，根據公式\(E(XY)=E(X)E(Y)\)，可知\(E(a)=E(z)=\sum E(wa)=\sum E(w)E(a)=0\)。由此可得，
\[ Var(a^{[l]}) = Var(z^{[l]}) = fan\_in \times Var(w) \times Var(a^{[l-1]}) \]
更進一步地，令\(n^{[l]}\)為第\(l\)層的輸出數量（\(fan\_out\)），則第\(l\)層的輸入數量（$fan_in \(）即前一層的輸出數量為\)n^{[l-1]}\(。第\)L$層輸出的方差為
\[ \begin{align} Var(a^{L}) = Var(z^{[L]}) &= n^{[L-1]} Var(w^{[L]}) Var(a^{[L-1]}) \\ &=\left[\prod_{l=1}^{L} n^{[l-1]} Var(w^{[l]})\right] {Var}(x) \end{align} \]
反向傳播時，需要將上式中的\(n^{[l-1]}\)替換為\(n^{[l]}\)（即\(fan\_in\)替換為\(fan\_out\)），同時將\(x\)替換為損失函數對網絡輸出的偏導。
所以，經過\(t\)層，前向傳播和反向傳播的方差，將分別放大或縮小
\[ \prod^{t} n^{[l-1]} Var(w^{[l]}) \\ \prod^{t} n^{[l]} Var(w^{[l]}) \]
為了避免梯度消失和梯度爆炸，最好保持這個係數為1。
需要注意的是，上面的結論是在激活函數為恆等映射的條件下得出的，而tanh激活函數在0附近可近似為恆等映射，即$tanh(x) \approx x $。
Lecun 1998
Lecun 1998年的paper ，在輸入Standardization以及採用tanh激活函數的情況下，令\(n^{[l-1]}Var(w^{[l]})=1\)，即在初始化階段讓前向傳播過程每層方差保持不變，權重從如下高斯分佈採樣，其中第\(l\)層的\(fan\_in = n^{[l-1]}\)，
\[ W \sim N(0, \frac{1}{fan\_in}) \]
Xavier 2010
在paper 中，Xavier和Bengio同時考慮了前向過程和反向過程，使用\(fan\_in\)和\(fan\_out\)的平均數對方差進行歸一化，權重從如下高斯分佈中採樣，
\[ W \sim N(0, \frac{2}{fan\_in + fan\_out}) \]
同時文章中還提及了從均勻分佈中初始化的方法，因為均勻分佈的方差與分佈範圍的關係為
\[ Var(U(-n, n)) = \frac{n^2}{3} \]
若令\(Var(U(-n, n)) = \frac{2}{fan\_in + fan\_out}\)，則有
\[ n = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{fan\_in + fan\_out}} \]
即權重也可從如下均勻分佈中採樣，
\[ W \sim U(-\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{fan\_in + fan\_out}}, \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{fan\_in + fan\_out}}) \]
在使用不同激活函數的情況下，是否使用Xavier初始化方法對test error的影響如下所示，圖例中帶\(N\)的表示使用Xavier初始化方法，Softsign一種為類tanh但是改善了飽和區的激活函數，圖中可以明顯看到tanh 和tanh N在test error上的差異。
論文還有更多訓練過程中的權重和梯度對比圖示，這裏不再貼出，具體可以參見論文。
ReLU/PReLU下的初始化方法
搬運一下上面的公式，
\[ Var(z)= fan\_in \times (Var(w) \ Var(a) + Var(w) E(a)^2) \]
因為激活函數tanh在0附近可近似為恆等映射，所以在初始化階段可以認為\(E(a) = 0\)，但是對於ReLU激活函數，其輸出均大於等於0，不存在負數，所以\(E(a) = 0\)的假設不再成立。
但是，我們可以進一步推導得到，
\[ \begin{align} Var(z) &= fan\_in \times (Var(w) \ Var(a) + Var(w) E(a)^2) \\ &= fan\_in \times (Var(w) (E(a^2) – E(a)^2)+Var(w)E(a)^2) \\ &= fan\_in \times Var(w) \times E(a^2) \end{align} \]
He 2015 for ReLU
對於某個具體的層\(l\)則有，
\[ Var(z^{[l]}) = fan\_in \times Var(w^{[l]}) \times E((a^{[l-1]})^2) \]
如果假定\(w{[l-1]}\)來自某個關於原點對稱的分佈，因為\(E(w^{[l-1]}) = 0\)，且\(b^{[l-1]} = 0\)，則可以認為\(z^{[l-1]}\)分佈的期望為0，且關於原點0對稱。
對於一個關於原點0對稱的分佈，經過ReLU后，僅保留大於0的部分，則有
\[ \begin{align}Var(x) &= \int_{-\infty}^{+\infty}(x-0)^2 p(x) dx \\&= 2 \int_{0}^{+\infty}x^2 p(x) dx \\&= 2 E(\max(0, x)^2)\end{align} \]
所以，上式可進一步得出，
\[ \begin {align}Var(z^{[l]}) &= fan\_in \times Var(w^{[l]}) \times E((a^{[l-1]})^2) \\&= \frac{1}{2} \times fan\_in \times Var(w^{[l]}) \times Var(z^{[l-1]}) \end{align} \]
類似地，需要放縮係數為1，即
\[ \frac{1}{2} \times fan\_in \times Var(w^{[l]}) = 1 \\ Var(w) = \frac{2}{fan\_in} \]
即從前向傳播考慮，每層的權重初始化為
\[ W \sim N(0, \frac{2}{fan\_in}) \]
同理，從後向傳播考慮，每層的權重初始化為
\[ W \sim N(0, \frac{2}{fan\_out}) \]
文中提到，單獨使用上面兩个中的哪一個都可以，因為當網絡結構確定之後，兩者對方差的放縮係數之比為常數，即每層扇入扇出之比的連乘，解釋如下，
使用Xavier和He初始化，在激活函數為ReLU的情況下，test error下降對比如下，22層的網絡，He的初始化下降更快，30層的網絡，Xavier不下降，但是He正常下降。
He 2015 for PReLU
對於PReLU激活函數，負向部分為\(f(x) = ax\)，如下右所示，
對於PReLU，求取\(E((a^{[l-1]})^2)\)可對正向和負向部分分別積分，不難得出，
\[ \frac{1}{2} (1 + a^2) \times fan\_in \times Var(w^{[l]}) = 1 \\Var(w) = \frac{2}{(1 + a^2) fan\_in} \\W \sim N(0, \frac{2}{(1 + a^2) fan\_in}) \\W \sim N(0, \frac{2}{(1 + a^2) fan\_out}) \]
caffe中的實現
儘管He在paper中說單獨使用\(fan\_in\)或\(fan\_out\)哪個都可以，但是，在Caffe的實現中，還是提供了兩者平均值的方式，如下所示，當然默認是使用\(fan\_in\)。
小結
至此，對深度神經網絡權重初始化方法的介紹已告一段落。雖然因為BN層的提出，權重初始化可能已不再那麼緊要。但是，對經典權重初始化方法經過一番剖析后，相信對神經網絡運行機制的理解也會更加深刻。
以上。
參考
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