[Computer Vision]Harris角點檢測的詳細推導

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Harris角點檢測

思想

為什麼要檢測角點呢？因為角點的特徵比較明顯。進行角點檢測的樸素思想是利用圖像梯度，也就是根據圖像強度的變化來尋找角點。如圖所示

這裏舉了個例子，給定一個小的區域（Patch），當這個小區域在不同位置滑動的時候，所呈現出來的一些特性是不同的，根據圖示，有三個方面。

  • Flat，平的地方，在任何方向，梯度都沒什麼變化。
  • Edge，邊的地方，當沿着邊方向的時候，梯度沒什麼變化。
  • Corner，角的地方，沿着任何方向，梯度都有變化。

Error Function

\[E(u,v)=\sum_{x,y}{w(x,y)[I(x+u,y+v)-I(x,y)]^2} \]

  • \(x,y\)是相對於一個小patch來說的，例如一個5*5的區域
  • \((u,v)\)是一個很小的移動量
  • \(w(x,y)\)是windows function，也就是對於每個點的權重，例如想讓中心的點權重高，可以用高斯核，一般就是全1或者高斯。
  • \(I(x,y)\)就代表圖像在\((x,y)\)的強度值。
  • 後面做差其實就是類似求梯度一樣

根據之前的討論，在一個patch里，如果有角點的存在，各個方向的梯度值都很大，於是乎，我們的目標是讓\(E(u,v)\)盡可能的大。
因為\((u,v)\)的值很小，所以我們可以利用二元函數的泰勒展開，來近似計算。
二元函數的泰勒展開，當然扔掉了一些項。

\[f(x+u,y+v) \approx f(x,y)+uf_x(x,y)+vf_y(x,y) \]

那麼我們對Error function中的關鍵部分進行展開

\[\begin{aligned} [I(x+u,y+v)-I(x,y)]^2 &\approx [I(x,y)+uI_x+vI_y-I(x,y)]\\ &=(uI_x+vI_y)^2\\ &=[u,v] \begin{bmatrix} I_x^2 &I_xI_y\\ I_xI_y&I_y^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u\\v \end{bmatrix} \end{aligned} \]

所以Error Function可以近似為

\[E(u,v)\approx [u,v]M\begin{bmatrix} u\\v \end{bmatrix} \]

\[M= \sum_{x,y}{w(x,y) \begin{bmatrix} I_x^2 &I_xI_y\\ I_xI_y&I_y^2 \end{bmatrix} } \]

這就涉及到線性代數里的二次型問題了。

簡單的二次型

例如 \(f(x,y) = x^2+y^2\)的可以寫作矩陣的形式

\[[x,y]\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} \]

由中間這個矩陣來決定這個二次型的形狀，因為我們研究的二次型只有兩個變量，所以可以可視化來理解如下圖所示。對形狀矩陣可以進行特徵分解，分為中間的對角陣（對角線都是特徵值）兩邊是特徵向量。特徵向量代表了橢圓切片的長短軸的方向，而特徵值平方根的倒數代表了軸的長短。至於為什麼分解完會和橢圓對應，線性代數書上會有。

這樣就把Error Function給可視化了，有了幾何含義，更加直觀了。

  • Flat的時候，\((u,v)\)往哪個方向變化都不大，反應在幾何上，應該是一個較為平坦的面
  • Edge的時候，\((u,v)\)往某個方向變化大，反應在幾何上，應該是某個方向翹起。
  • Corner的時候，\((u,v)\)往大部分方向變化都大，反應在幾何上，應該是大部分方向都翹起。

如圖所示

我們可以通過兩個特徵值之間的大小關係，以及他們自身的關係來作為評估的依據。

當兩個特徵值都很大，且差不多時，意味着角點。

角點響應的度量

以上分析了，要兩個特徵值都很大，且同時大，那怎麼來度量？於是乎在最原始的論文里，這樣定義了響應函數，並且對不同的\(\lambda\)有以下的響應圖

\[R = det(M)-k(trace(M))^2\\ det(M) = \lambda_1\lambda_2\\ trace(M) = \lambda_1+\lambda_2 \]

\(k\)一般在是0.04-0.06

如圖所示，黃色的線是等值線，代表\(R\)的值都相同，左上角是\((0,0)\)點，往右下角去\(R\)的值越大，代表角點的響應越高，圖中畫了個綠線，右側的R值基本可以判斷為是角點了。另外還有一些別的響應函數，基本大同小異吧。

算法

所以現在經過以上的分析，總結一下角點檢測的算法步驟。

  1. 計算整個圖像的梯度值\(I_x,I_y\)
  2. 對於每個像素的\(I_{x^2}=I_xI_x,I_{y^2}=I_yI_y,I_{xy}=I_xI_y\)
  3. 計算每一個像素窗口的和，意思就是對於一個像素，定義一個領域例如5*5，就和之前提及的那樣，然後計算這個鄰域裏面所有第二步計算出來的值的和。\(S_{x^2}=G_{\sigma}*I_{x^2},S_{y^2}=G_{\sigma}*I_{y^2},S_{xy}=G_{\sigma}*I_{xy}\)
  4. 對於每個點\((x,y)\)，定義矩陣\(\begin{bmatrix}S_{x^2}&S_{xy}\\S_{xy}&S_{y^2}\end{bmatrix}\)
  5. 對於每個點，計算響應值\(R=Det(H)-k(Trace(H))^2\)
  6. 對\(R\)設定閾值，並且計算非極大值抑制（nonmax suppression, NMS），這個的意思應該就是比如5*5的鄰域內有好幾個點通過了閾值的篩選，那麼選擇最大的那個，抑制其他的點。

一些特性

  • Harris角點響應具有旋轉不變性，因為旋轉不會改變特徵值的大小。
  • Harris角點響應對強度變化具有一定的不變性，縮放或者平移。因為經過縮放或者平移，最大值還是最大值，但是閾值可能要改改。
  • Harris角點響應不對尺度有不變性，改變尺度可能會改變檢測的結果。可能在某一尺度下檢測出為角點，而另一尺度檢測出為邊緣。

參考

  • [1]CSE486 PSU http://www.cse.psu.edu/~rtc12/CSE486/
  • [2]16-385 CMU 5http://www.cs.cmu.edu/~16385/

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